最近在做通信网络相关的仿真，今天拿到了一些别人仿真的代码来学习，其中看到了一个double Lambda[T_Node_Number][M][Low_iteration];的参数，注释写着拉格朗日乘子式。本来对于这个名词感觉很陌生，后来查了一些资料，才回忆起这似乎是大一高数曾经学过的知识，经查书，果不其然，高数下P113页 条件极值拉格朗日法讲的就是这个内容。以前被忽视的知识点，再次重现，我觉得要好好学习一下。一下是学习笔记：

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如何理解

先看一个二维的例子：假设有函数：f(x,y)，要求其极值（最大值/最小值），且

c 为常数。对不同d_n的值，不难想像出

的等高线。而方程g的等高线正好是g(x,y) = c。想像我们沿着g = c的等高线走；因为大部分情况下f和g的等高线不会重合，但在有解的情况下，这两条线会相交。想像此时我们移动g = c上的点，因为f是连续的方程，我们因此能走到更高或更低的等高线上，也就是说d_n可以变大或变小。只有当g = c和相切，也就是说，此时，我们正同时沿着g = c和走。这种情况下，会出现或。

气象图中就很常出现这样的例子，当温度和气压两列等高线同时出现的时候，切点就意味着约束极值的存在。

用的形式来表达的话，我们说相切的性质在此意味着f和g的斜率在某点上平行。此时引入一个未知标量λ，并求解：

且λ ≠ 0.

一旦求出λ的值，将其套入下式，易求在无约束极值和极值所对应的点。

 = 

新方程F(x,y)在达到极值时与f(x,y)相等，因为F(x,y)达到极值时g(x,y) − c总等于零。

方法

假设需要求极值的目标  (objective function) 为 f(x,y)，约束条件为 φ(x,y)=M

设g(x,y)=M-φ(x,y)

定义一个新函数

F(x,y,λ)=f(x,y)+λg(x,y)

则用 方法列出 ：

∂F/∂x=0

∂F/∂y=0

∂F/∂λ=0

求出x,y,λ的值，代入即可得到 函数的极值

扩展为多个变量的式子为：

F(x1,x2,...λ)=f(x1,x2,...)+λg(x1,x2...)

则求 的方程为：

∂F/∂xi=0（xi即为x1、x2……等 ）

∂F/∂λ=g(x1,x2...)=0

以上内容在《数学手册》当中有。另外，可以将这种把 乘以λ（即不定乘子）后加到待求函数上的求 方法推广到变分极值问题及其它极值问题当中，理论力学当中对 的处理方法就是利用 当中的 。

 

很简单的例子

求此方程的最大值：

f(x,y) = x²y

同时未知数满足

x² + y² = 1

因为只有一个未知数的限制条件，我们只需要用一个乘数λ.

g(x,y) = x² + y² − 1

Φ(x,y,λ) = f(x,y) + λg(x,y) = x²y + λ(x² + y² − 1)

将所有Φ方程的偏微分设为零，得到一个方程组，最大值是以下方程组的解中的一个：

2xy + 2λx = 0

x² + 2λy = 0

x² + y² − 1 = 0

另一个例子

求此的最大：

所有概率的总和是1，因此我们得到的约束是g（p）= 1即

可以使用拉格朗日乘数找到最高熵（概率的函数）。对于所有的k 从1到n，要求

由此得到

计算出这n个等式的微分，我们得到：

这说明p_i都相等 (因为它们都只是λ的函数). 解出约束∑_k p_k = 1，得到

因此，使用均匀分布可得到最大熵的值。

 

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心得体会：经过这次学习，深切地体会到在学习知识时，一次学会是多么重要的一件事情。由于课程安排不合理和个人时间利用的问题，在大学期间的课程，有好多都学的一知半解，不够深入，不够扎实，大多都是为了应付考试，考前突击学成的，致使考试不考的内容根本不会，考试考了的内容考完以后很快也就淡忘了，时间久了根本连印象都没有。这样子学习是不行的，可是应该如何学习呢？是应该第一次学习就尽可能学好，还是更依赖于经过一段时间的温故知新呢。我不敢轻易相信已有的所谓学习，还需在实践中检验考证。